Question

在Rt△ABC中,∠C=90,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC AB分别交与点D、E，且∠CBD=∠A

(1)判断直线BD与圆O的位置关系，并说明理由
（2）若AD；AO=8:5，BC=8，求BD、AO的长
（3）在（2）的条件下，P是射线BA上的一动点，以P为圆心的圆既与直线BD相切,也与圆O相切时，求BP的长

Answer 1

(1)证明：连OD,DE

因为AE是圆O的直径，∴∠ADE=90°=∠C

∴DE∥BC  ∴∠EDB=∠CBD=∠A

OD=OE   ∴∠ODE=∠OED

因为∠A+∠OED=90°

∴∠EDB+∠ODE=90°   即OD⊥BD

∴BD是圆O的切线。

(2)因为AD/AO=8/5⇒AD/AE=AD/2AO=8/2×5=8/10

可知BC/AC/AB=6/8/10(勾股数)

因为BC=8   ∴8/AB=6/10⇒AB=40/3   

因为∠BDE=∠BAD   ∠DBE=∠ABD

∴△DBE∼△ABD  ∴BD/AB=DE/AD=6/8

∴BD=40/3×6/8=10

因为(BD^2)=BE•BA  100=BE•40/3⇒BE=15/2

∴AO=[(40/3)-(15/2)]/2=35/12

(3)设圆P的半径为R

分二种情形：当P在BA上时：

R/PB=OD/OB=(35/12)/[(40/3)-(35/12)]=7/25

∴R=7PB/25  又AB=PB+R+AE

∴40/3=PB+(7PB/25)+(35/12)×2

∴PB=375/64≈5.86

当P'在BA延长线上时，

R=7P'B/25

P'B=AB+R=(40/3)+(7P'B/25)

∴P'B=500/27≈18.52

Answer 2

1】相切
由题AO=DO，所以∠A=∠ADO=∠CBD，因为∠CBD+∠CDB=90度，所以∠A+∠CDB=90度
所以∠ODB=90度，又因为D在圆上，OD半径，所以相切
2】ADE ACB BCD相似 AD:AE=4:5 由勾股数 BD=10 所以CD=6 AC=32/3 AD=14/3 AO=35/12
3】设P为圆心的圆与直线BD相切与Q，BOD BPQ相似，推OD平行PQ，推AOD APQ相似，推AC平行EQ，推QE垂直DE且∠CDQ=∠DQE，推QED BCD相似，由相似比可以推得EP=35/12
因为AO=OE=35/12 所以AP=35/4 由相似比AB=40/3 BP=AB-AP=55/12