Question

设抛物线c:y^2=4x,F为C的焦点,经过点F的直线l与C相交于A.B两点。

（1）设l的斜率为1，求|AB|的大小。
求证：向量OA乘以向量OB是一个定值。

Answer 1

y^2=4x=2px,p=2,故焦点坐标是（1,0)
(1)AB方程是y=x-1,代入y^2=4x
x^2-2x+1=4x
x^2-6x+1=0
x1+x2=6
故AB＝X1＋X2＋P＝6＋2＝8
（2）设直线AB的方程是y=k(x-1)
k^2(x-1)^2=4x
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1x2=1,x1+x2=(2k^2+4)/k^2=2+4/k^2
y1y2=k^2[(x1-1)(x2-1)]=k^2(x1x2-(x1+x2)+1]=k^2[1-2-4/k^2+1]=-4
故向量OA＊OB＝x1x2+y1y2=1-4=-3.(为定值）

Answer 2

（1）抛物线C的焦点F为（1，0），也就是说L过（1,0）
斜率为1，则L方程为y=x-1
L与C联立的交点求距离即可，最后得8
（2）设斜率为k，L为y=kx-k与C交点设为（x1，y1），（x2，y2）向量OA为（x1，y1）OB为（x2，y2）
将x1，y1 x2 y2都用k表示，
OA·OB=x1*x2+y1*y2
最后一约分是个常数
计算量太大，你自己算吧！

Answer 3

由 抛物线c:y^2=4x,标准方程可以求出焦点坐标；
然后利用点斜式可以求出直线l的方程；
联立方程，利用弦长公式求|AB|；
第二问要结合向量知识，明确坐标设而不求，点乘积是目标。
大体解题思路很关键，要学会梳理，这样就是做一个会一批了。哈哈