Question

已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0和直线X+2Y-3=0交于P,Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值？

不要这种方法，看不懂：圆x^2+y^2+x-6y+m=0
本身可以化为标准式子:
(x+1/2)^2+(y-3)^2=9+1/4-m=(37-4m)/4
圆心坐标为(-1/2,3),则
过圆心,且与直线x+2y-3=0垂直的直线为y=2x+4
二者的交点就是PQ为直径的圆心坐标:(-1,2)
到(0,0)点距离的平方=半径的平方=5
半径为√5
则P点坐标为(-3,3),Q点坐标为(1,1)

代入得m=3

Answer 1

联立直线与圆方程得到：
x^2+x+y^2-6y+m=0
x+2y-3=0
===> (2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+m=0
===> 4y^2-12y+9-2y+3+y^2-6y+m=0
===> 5y^2-20y+(m+12)=0
===> y1+y2=4，y1y2=(m+12)/5
===> x1x2=(-2y1+3)(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4(m+12)/5-15
由"以PQ为直径的圆恰过坐标原点，"得到;OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> y1y2+x1x2=0
===> (m+12)/5+4(m+12)/5-15=0
===> m+12-15=0
===> m=3