Question

设数列｛An｝的前n项和为Sn，已知A1=1，Sn+1=2Sn+n+1（n属于正整数）。求An的通项。

若Bn=n/（An+1-An），求数列｛Bn｝的前n项和为Tn，n属于正整数，证明Tn＜2.

Answer 1

第一小题一楼已经做出来了我也就不做了，你看他做的就可以了，我给你做第二步的证明
先化简：Bn=n/(an+1-an)=n/(2^n)
Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+...+ n*(1/2)^n
1/2Tn= 1*(1/2)^2+...+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^n
两试相减,1/2Tn=1/2+1/2-(1/2)^n-n*(1/2)^n<1
故Tn<2

Answer 2

Sn+1=2Sn+n+1 Sn=2Sn-1+n 相减an+1=2an+1
所以an+1+1=2(an+1 ) a1+1=2
an+1=2^n
an=2^n-1