（根号x+2）^(2n+1)的展开式中含x的整数次幂的各项系数之和是多少
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这个问题可以这么解:
假设y=根号x
那么原式写成了(y+2)^(2n+1)
原来包含x的整数次幂的式子就变成了包含y的偶数次幂的式子
那么整个展开式可以分为包含y的偶数次幂的式子 和 包含y的奇数次幂的式子
不妨记 包含y的偶数次幂的式子之和为A,包含y的奇数次幂的式子的和为B
那么
令y=1
A+B=3^(2n+1)
令y=-1
那么
所有包含y的奇数次幂的,相比y=1时都取相反值了
所以
A-B=1
那么A=(3^(2n+1)+1)/2
也就是包含x的整数次幂的各项系数之和为(3^(2n+1)+1)/2
假设y=根号x
那么原式写成了(y+2)^(2n+1)
原来包含x的整数次幂的式子就变成了包含y的偶数次幂的式子
那么整个展开式可以分为包含y的偶数次幂的式子 和 包含y的奇数次幂的式子
不妨记 包含y的偶数次幂的式子之和为A,包含y的奇数次幂的式子的和为B
那么
令y=1
A+B=3^(2n+1)
令y=-1
那么
所有包含y的奇数次幂的,相比y=1时都取相反值了
所以
A-B=1
那么A=(3^(2n+1)+1)/2
也就是包含x的整数次幂的各项系数之和为(3^(2n+1)+1)/2
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