Question

已知g(x)=-x的平方-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式

晚上就急要

Answer 1

f(x)的表达式ax^2+bx+c
f(x)+g(x)=-[f(-x)+g(-x)]
==>ax^2+bx+c-x^2-3=-ax^2+bx-c+x^2+3
==>(a-1)x^2+bx+c-3=(1-a)x^2+bx-c+3
==>a=1,c=3
f(x)=x^2+bx+3=(x+b/2)^2+3-b^2/4
因为当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1
即3-b^2/4=1==>b=正负(2*根2)
因为x=-b/2∈[-1,2]
所以b=2*根2

Answer 2

解：设f(x)=ax²+bx+c,
f(x)+g(x)=(a-1)x²+bx+(c-3)为奇函数
则a-1=0,a=1,
函数关于原点对称
c-3=0，c=3,
f(x)=x²+bx+3=(x+b/2)²+3-b²/4
顶点坐标(-b/2,3-b²/4)
当-b/2<-1时，即b>2，x=-1,f(x)最小，f(x)=1+-b+3=1,b=3
当-b/2>2时，即b<-4,x=2,f(x)最小，f(x)=4+2b+3=1,b=-3舍去
当-4≤b≤2，顶点坐标f(x)最小，即3-b²/4=1，b=2√2舍去
∴f(x)=x²+3x+3