Question

帮忙解一道数学题

在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2,BC=a又侧棱PA⊥底面ABCD
1：当a为何值时，BD⊥平面pac
2：当a=4时，求点D到平面PBC的距离
3：当a=4时,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值
请给出完整步骤，谢谢！

Answer 1

1、若BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，所以ABCD是正方形，a=2

2、因为AD//BC，所以AD//平面PBD，因此D到平面PBC的距离等于A到PBC的距离
在三角形PAB中，作PB边上的高AH，交PB于H
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，所以BC⊥PAB，因此有BC⊥AH
又有AH⊥PB，所以AH⊥平面PBC，即AH为A到平面PBC的距离
又PAB为直角三角形，PA=AB=2，所以AH=根号2

3、设ABCD的对角线交点为O，PB中点为M，则MO//PD，且MO=PD/2=根号5
所以PD与平面PBC所成角的正弦，等于O到平面PBC的距离除以MO
过O作BC的平行线，交AB，CD于E，F，则EF//平面PBC
所以O到平面PBC的距离等于E到PBC的距离
又E、F分别为AB，CD中点，所以E到平面PBC的距离为A到PBC距离的一半，即根号2/2
所以所求正弦值为1/根号10