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改进单纯形法详细资料大全

Answer 1

由George Dantzig发明的 单纯形法 （simplex algorithm）在数学最佳化领域中常用于线性规划问题的数值求解。原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次叠代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次叠代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少叠代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。

基本介绍

• 中文名 ：改进单纯形法
• 外文名 ：modified simplex method
• 提出时间 ：1965 年
• 提出者 ：J.A.Nelder 等

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单纯形法

简介

由GeorgeDantzig发明的 单纯形法 （simplexalgorithm）在数学最佳化领域中常用于线性规划问题的数值求解。 Nelder-Mead法或称 下山单纯形法 ，与单纯形法名称相似，但二者关联不大。该方法由Nelder和Mead于1965年发明，是用于最佳化多维无约束问题的一种数值方法，属于更普遍的搜寻算法的类别。这两种方法都使用了单纯形的概念。 单纯形 是 维中的 个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体等等，都是单纯形。

单纯形法的提出及依据

单纯形法是美国数学家GeorgeDantzig于1947年首先提出的。其理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间R中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到，该顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想

单纯形法是一种多变数函式的寻优方法，其主要思想是先找一个基本可行解，判断是否为最优解，如果不是则找另外一个解，再进行判定，如此叠代运算，直至找到最优解或者判定其无界。

单纯形法的特点

单纯形法是一种直接、快速的搜寻最小值方法，其优点是对目标函式的解析性没有要求，收敛速度快，适用面较广。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：

1. 把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
2. 若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
3. 若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变数取代某一基变数，找出目标函式值更优的另一基本可行解。
4. 按步骤3进行叠代，直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函式值不能再改善），即得到问题的最优解。
5. 若叠代过程中发现问题的目标函式值无界，则终止叠代。

改进的单纯形法

原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次叠代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次叠代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少叠代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 改进的单纯形法是在单纯形操作中引入变异操作，以此来增强全局搜寻能力。具体做法是： 首先，进行基本单纯形法操作，快速得到局部极小值，再对极小值点在取值范围内进行变异操作，并重新进行基本单纯形法操作，直到得到最优解为止。该算法的计算步骤如下： 1.选取初始单纯形，初始步长L，最大变异次数m _max ，计数器m=0； 2.进行基本单纯形操作，找到一个极值点X ₁ ； 3.以极值点置作新的顶点，再选取初始单纯形，并进行新一轮的单纯形操作，得到新的极值点，两极值点对应的目标函式为R ₁ ，R ₂ ； 4.若R ₁ >R ₂ ，R ₁ =R ₂ ，X ₁ =X _2， 代入 其中(i=1,2,…,t)， X _i max、 X _i min为参数X_i的上、下限； 为0到1之间的随机数。 5.若 ，对进行变异操作，计数器m=m+1： 6.若计数器 m < m max，转(1)，否则输出结果 X ₁ 。