Question

已知:3(a方+b方+c方)=(a+b+c)方,求证:a=b=c

Answer 1

3(a方+b方+c方)=(a+b+c)方
3a²+3b²+3c²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
a²+b²-2ab+a²+c²-2ac+b²+c²-2bc=0
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
所以a-b=0 a-c=0 b-c=0
所以a=b=c

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Answer 2

3(a方+b方+c方)=(a+b+c)方
3a方+3b方+3c方=a方+b方+c方+2ab+2bc+2ca
2a方+2b方+2c方-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)方+(b-c)方+(c-a)方=0
又：(a-b)方≥0，(b-c)方≥0，(c-a)方≥0
∴(a-b)方=(b-c)方=(c-a)方=0
∴a-b=b-c=c-a=0
∴a=b=c

Answer 3

原题等价为
2a方+2b方+2c方=2ab+2bc+2ac
a方+b方大于等于2ab，当且仅当a=b取等号
b方+c方大于等于2bc，当且仅当c=b取等号
a方+c方大于等于2ac，当且仅当a=c取等号
三个不等式相加得
2a方+2b方+2c方大于等于2ab+2bc+2ac
当且仅当a=b=c取等号
所以a=b=c

Answer 4

3(a²+b²+c²)=(a+b+c)²
3a²+3b²+3c²=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
a=b a=c b=c
a=b=c