Question

高等数学，在不定积分中，对于所有的f(x)对应的原函数F(x)，是不是都连续？

Answer 1

当然不一定
例如f（x）=-1/x²，这个函数原函数是F（x）=1/x
原函数在x=0点不连续，不在定义域内。

追问

可是你的f(x)在x=0时也不连续

追答

你问的是所有的f(x)对应的原函数F(x)，是不是连续。
那么所有f（x）中，当然包括在x=0不连续的-1/x²啦，这也是一个f（x）函数啊。你又没对f（x）进行限制。

追问

可是只有连续的函数或者只存在可去型间断点的函数才有原函数吧

追答

那么我现在问你一下，
f（x）=-1/x²是个有无穷间断点的函数。那么这个函数有没有原函数呢？有啊，这个函数的原函数就是F（x）=1/x啊。无论是从任何关于不定积分、关于原函数的定义来论证，都无法否定F（x）=1/x是f（x）=-1/x²的一个原函数。当然准确的说f（x）=-1/x²的原函数是F（x）=1/x+c（c是常数）。
所以你说的只有连续的函数或者只存在可去型间断点的函数才有原函数的观点又是从和而来呢？

追问

那为什么书上说在某区域内有跳跃型间断点的函数在该区域不存在原函数呢

追答

这是因为定义域的问题。
例如三个函数：
f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）
g（x）=-1（x＜0）；1（x≥0）
h（x）=-1（x＜0）；1（x＞0）
这三个函数在x=0点都是跳跃间断点，区别只是在于当x=0的时候，函数值不同。其中f（0）=-1，g（0）=1，h（x）在x=0点无定义。
我们可以考察函数k（x）=|x|这个函数。
很明显当x＜0的时候。k（x）=-x，k'（x）=-1；当x＞0的时候，k（x）=x，k'（x）=1，而当x=0的时候，k（x）的左右导数不相等，所以k（x）在x=0点不可导。
所以k（x）=|x|的导函数只是h（x）而不能是f（x）和g（x）。
所以h（x）有原函数，原函数可以说是k（x），当然h（x）的原函数也可以说是m（x）=|x|（x≠0）。
但是f（x）就没法找到原函数了。因为没法找到一个函数在x=0点的导数是-1，但是导函数在x=0点的右极限却是1，找不到这样一个函数。所以f（x）找不到原函数。
同理，g（x）也找不到原函数。
而f（x）和g（x）与h（x）的区别就是在于定义域。

追问

哦。。。。懂了

Answer 2

原函数都是连续函数

追问

为什么啊

追答

原函数都是可导的，可导必连续。

追问

那楼上那个人为什么说不是

追答

那你就要问他了，我的理解是这样。而且做过类似的题就是这样解释的。