Question

各项均为正数的等比数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于多少

Answer 1

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列
2,S2n-2,14-S2n成等比数列
(S2n-2)^2=2(14-S2n)
解得:S2n=-4,S2n=6
∵各项均为正数的等比数列{an}
∴S2n=6
∴2,4,8,S4n-14成等比数列
∴S4n-14=16
即:S4n=30
方法二:
∵S[n]=a[1](1-q^n)/(1-q)=2
S[3n]=a[1][1-q^(3n)]/(1-q)=14
将上面两式相除,得：
1+q^n+q^(2n)=7
q^(2n)+q^n-6=0
∴q^n=2 或者 q^n=-3
∵等比数列{a[n]}各项均正
∴q^n=2
∵S[4n]-S[3n]
={a[1][1-q^(4n)]/(1-q)}-{a[1][1-q^(3n)]/(1-q)}
={a[1](1-q^n)/(1-q)}q^(3n)
=S[n]q^(3n)
∴S[4n]
=S[3n]+S[n]q^(3n)
=14+2*2^3
=30