Question

已知函数y=e^x-kx , x∈R，

（1）若k=e,试确定函数f(x)的单调区间

（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k的取值范围
(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证F(1)F(2)…F(n)＞(e^(n+1)+2)^(n/2)
，要过程 谢谢

Answer 1

（1）k=e 带入得 y=e^x-ex y'=e^x-e=0 x=1
x<1 y'<0 y单调递减
x>1,y'>0 y单调递增
(2) 不妨设x≥0满足题设
e^x-kx>0 k<e^x/x 设g(x)=e^x/x g(x)'=e^x(x-1)/x^2 x=1 g(x)min=e ∴k<e
(3)F(x)=e^x+1/e^x≥2
F(k)F(n+1-k)=F(n+1)+F(n+1-2k)>e^(n+1)+2
[F(1)F(2)...F(n)]^2=[F(1)F(n)][F(2)F(n-1)]...[F(n-1)F(2)][F(n)F(1)]>[e^(n+1)+2]^n
开方得F(1)F(2)…F(n)＞[e^(n+1)+2]^(n/2)