Question

如何证明1/根号n<根号2[根号(2n+1)-根号(2n-1)]！！要详细答案，不要省略

Answer 1

右端项分子有理化
根号2[根号(2n+1)-根号(2n-1)]
根号2[根号(2n+1)-根号(2n-1)][根号(2n+1)+根号(2n-1)]
=----------------------------------------------------------------------
[根号(2n+1)+根号(2n-1)]
平方差公式，[根号(2n+1)-根号(2n-1)][根号(2n+1)+根号(2n-1)]=2n+1-(2n-1)=2
所以原右端项
=2根号2/ [根号(2n+1)+根号(2n-1)]
而有基本不等式 (a+b)/2<=根号[(a^2+b^2)/2],等号成立条件a=b
[根号(2n+1)+根号(2n-1)]/2<=根号[((2n+1)+(2n-1))/2]=根号(2n)
[根号(2n+1)+根号(2n-1)]<=2根号2*根号n
但是等号成立条件2n+1=2n-1恒不成立，所以没有等号
其次，2根号2/ [根号(2n+1)+根号(2n-1)]>2根号2/[2根号2*根号n]=1/根号n
所以1/根号n<根号2[根号(2n+1)-根号(2n-1)]