Question

已知各项均为正的数列｛an｝,满足（an+1）∧2=2（an）∧2+an×an+1,且a2+a4=

已知各项均为正的数列｛an｝,满足（an+1）∧2=2（an）∧2+an×an+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N （1）求｛an｝ （2）设数列｛bn｝满足bn=（nan）/（2n+1）2∧n,是否存在正整数m,n,使b1,bm,bn成等比数列

Answer 1

解：

(1)

a(n+1)²=2an²+ana(n+1)

a(n+1)²-ana(n+1)-2an²=0

数列各项均为正，an≠0，等式两边同除以an²

[a(n+1)/an]²- a(n+1)/an -2=0

[a(n+1)/an +1][a(n+1)/an -2]=0

a(n+1)/an=-1(正项数列，比值为正，舍去)或a(n+1)/an=2

数列是以2为公比的等比数列，设公比为q，q=2

a2+a4=2a3+4

a1q+a1q³=2a1q²+4

(q³-2q²+q)a1=4

a1=4/(q³-2q²+q)=4/[q(q-1)²]=4/[2×(2-1)²]=2

an=a1qⁿ⁻¹=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ

数列{an}的通项公式为an=2ⁿ

(2)

bn=nan/[(2n+1)·2ⁿ]=n·2ⁿ/[(2n+1)·2ⁿ]=n/(2n+1)

假设存在m、n，(m，n≠1)，使b1、bm、bn成等比数列，则

bm²=b1·bn

[m/(2m+1)]²=[1/(2×1+1)][n/(2n+1)]

整理，得

m²/(2m+1)²=n/[3(2n+1)]

3m²(2n+1)=n(2m+1)²

(2n+3)m²-4nm-n=0

(2m²-4m-1)n+3m²=0

n=3m²/(-2m²+4m+1)

=3m²/[-2(m-1)²+3]

-2(m-1)²+3≤3，要n为正整数，-2(m-1)²+3的可能取值为1或2或3

-2(m-1)²+3=1时，(m-1)²=1，m-1=1，m=2，n=12

-2(m-1)²+3=2时，(m-1)²=½，舍去

-2(m-1)²+3=3时，(m-1)²=0，m=1，舍去。

综上，得：存在正整数m=2，n=12，使b1、bm、bn成等比数列。