Question

已知向量a和向量b的夹角是45度，向量的绝对值a=根号2，向量的绝对值b=3

已知向量a和向量b的夹角是45度，向量的绝对值a=根号2，向量的绝对值b=3，求使向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是锐角，求入的取值范围

Answer 1

向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是锐角
(b+入a)*(入b+a)>0且(b+入a)与(入b+a)不共线
(b+入a)*(入b+a)
=入|b|^2+入|a|^2+(入^2+1)a*b
=11入+(入^2+1)√2*3*√2/2
=3入^2+11入+3>0
==> 入<(-11-√85)/6,入>(-11+√85)/6
若(b+入a)与(入b+a)共线,则入=1,入=-1

∴入的取值范围是
入<(-11-√85)/6,或入>(-11+√85)/6且入≠1

Answer 2

已知向量a和向量b的夹角是45度，︱a︱=√2，︱b︱=3，求使b+入a与入b+a的夹角是锐角，求入的取值范围
解：把向量a，b置入坐标系内，令b=(3，0)，a=(1，1），则︱a︱=√2，︱b︱=3，且cos(a＾b)
=3/(3√2)=√2/2，即a＾b=45°.
m=b+λa=(3+λ，λ)；︱m︱=√[(3+λ)²+λ²]=√(2λ²+6λ+9)
n=λb+a=(3λ+1，1)；︱n︱=√[(3λ+1)²+1]=√(9λ²+6λ+2)
∵m与n的夹角是锐角，故有0<cos(m＾n)=m•n/︱m︱︱n︱<1
由m•n/︱m︱︱n︱=[(3+λ)(3λ+1)+λ]/√[(2λ²+6λ+9)(9λ²+6λ+2)]
=(3λ²+11λ+3)/√[(2λ²+6λ+9)(9λ²+6λ+2]<1
得(3λ²+11λ+3)²<(2λ²+6λ+9)(9λ²+6λ+2)
展开化简得9λ⁴-18λ²+9=9(λ⁴-2λ²+1)=9(λ²-1)²>0,故λ∈R........(1)
由m•n=3λ²+11λ+3>0，得λ<(-11-√85)/6或λ>(-11+√85)/6..........(2)
由(1)∩(2)={λ︱λ<(-11-√85)/6}∪{λ︱λ>(-11+√85)/6}这就是λ的取值范围。

Answer 3

方便起见，暂且向量α=α，锐角为β
由已知得：夹角∈[0,π]，因为β为锐角，所以cosβ>0，(b+入a)(a+入b)=|b+入a||a+入b|cosβ>0
a·b=|a||b|cos(π/4)=根号2*3*(根号2/2)=3
a平方=|a|平方=2，b平方=|b|平方=9
(b+入a)(a+入b)=(入^2+1)ab+入(b^2+a^2)=3*入^2+11入+3>0
求根公式选出入1,入2就行了，范围取两边。
PS：
1.答案有点恶心，不知道对不对，自己仔细算一下。思路应该没问题。
2.稍微纠正一下：【向量的绝对值a=根号2】中，不是向量的绝对值，而应该是向量的模长，即向量的长度。两向量做点积=两向量的模长*其夹角的余弦值
希望对你有帮助。

Answer 4

题意不详