Question

已知过 函数f(x)=x^3+ax^2+1的图像上一点B(1,b)的切线的斜率为-3，求A的取值范围，

使不等式f（x）小于等于A-1993对于X属于X大于等于-1小于等于4恒成立

Answer 1

f(x)≤A-1993
x³-3x²+1≤A-1993
x³-3x²+1994-A≤0
x²(x-3)≤A-1994
f'(x)=3x²-6x≤0
0≤x≤2
函数在[0，2]上单调递减，在[-1，0]上单调递增，在[2，4]上单调递增。要不等式对于x∈[-1，4]上恒成立，即函数取最大值时，仍有不等式成立。
考察函数的边界点和极值点：f(-1)=-3 f(0)=1 f(4)=17，当x=4时，f(x)取得最大值。
A-1993≥17
A≥2010

Answer 2

∵不等式f(x)≤A-1993对于x∈[-1,4]恒成立
∴把f(x)=x³+ax³+1带入得
x³-3x²+1≤A-1993
移项整理得
x²(x-3)≤A-1994
又f'(x)=3x²-6x≤0
∴ x∈[0,2]
又∵f(x)在[0，2]上递减
在[-1，0]和[2，4]上递增
∴要使不等式对于x∈[-1，4]上恒成立，即f(x)取最大值时，仍恒成立。
∴f(4)=17，f(x)取得max。
∴f(x)max≤A-1993，故A-1993≥17
∴A≥2010