Question

数学的极限是什么

Answer 1

极限是数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。
设|Xn|为一无穷数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε都立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为 　　lim Xn = a 或Xn→a（n→∞） 　　如果数列没有极限，就说数列发散。
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且其子数列的极限与原数列的相等； 　　2.有界性：如果一个数列{xn}收敛（有极限），那么这个数列{xn}一定有界。 　　但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如{xn}：1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，…… 　　3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)。 　　4.收敛数列与其子列间的关系：（通俗讲：改变数列的有限项，不改变数列的极限。）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a。

Answer 2

下面的回答来自http://baike.baidu.com/view/17644.htm
数列极限
定义
　　设|Xn|为一无穷数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε都立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为 　　lim Xn = a 或Xn→a（n→∞） 　　如果数列没有极限，就说数列发散。
性质
　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且其子数列的极限与原数列的相等； 　
2.有界性：如果一个数列{xn}收敛（有极限），那么这个数列{xn}一定有界。 　　但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如{xn}：1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，…… 　　
3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)。 　　4.收敛数列与其子列间的关系：（通俗讲：改变数列的有限项，不改变数列的极限。）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a。
常用数列的极限
　当n→∞时，有 　　An=c 极限为c 　　An=1/n 极限为0 　　An=x^n （∣x∣小于1） 极限为0
数列极限存在的充分条件
夹逼原理
设有数列{An}，{Bn}和{Cn}，满足 An ≤ Bn ≤ Cn, n∈Z*，如果lim An = lim Cn = a , 则有 lim Bn = a.
单调收敛定理
　　单调有界数列必收敛。[是实数系的重要结论之一，重要应用有证明极限 lim(1+1/n)^n 的存在性]
柯西收敛准则
　　设{Xn}是一个数列，如果任意ε>0, 存在N∈Z*, 只要 n 满足 n > N ,则对于任意正整数p,都有 　　|X(n+p) - Xn | < ε . 这样的数列{Xn}称为柯西数列， 　　这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。
函数极限
专业定义
　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
通俗定义
　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A ，x→+∞。 　
　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。
函数的左右极限
　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a. 　　
2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a. 　　
注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限 　　一个函数是否在x(0)处存在极限，与它在x=x(0)处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x(0)附近有定义即可。
两个重要极限
　1、x→0，sin(x)/x →1 　　
2、x→0，（1 + x）^1/x→e或 x→∞ ，（1 + 1/x）^x→e 　　x→∞ ，（1 + 1/x）^（1/x） → 1 　　（其中e≈2.7182818...是一个无理数）
函数极限的运算法则
　　设lim f(x) ，lim g(x)存在，且令lim f(x) =A, lim g(x)=B，则有以下运算法则，
线性运算
　　加减： 　　lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B 　　
数乘： 　　lim( c* f(x)）= c * A　（其中c是一个常数）
非线性运算
　　乘除： 　　lim( f(x) * g(x))= A * B 　　lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中B≠0 ) 　　
幂： 　　lim( f(x) ) ^n = A ^ n

Answer 3

极限不是数，是一个无限接近某个固定点的趋势，某个函数在一点无定义确可以有极限。例如：y=（1+x)^2/(1+x)。此函数在-1点上无定义，但是有极限，所以说此点的极限是0，极限的叫法应该叫极限接近点，因为极限是趋势，不是点。

Answer 4

数学是没有极限的，随着人类生活的长进是不会有极限的