Question

如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，

如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

解：
（1）一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，则可求得A(-4，0)、B（0，2）。二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2，所以有
b^2=4ac
-b/2a=I2I
c=2
解得a＝1/2，b＝-2，c＝2或a＝1/2，b＝2，c＝2，
所以二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2或y=x^2/2+2x+2
（2）当二次函数的解析式是y=x^2/2+2x+2时，一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为（-3，1/2），设P（X，0），DB^2=45/4，分三种情况讨论：
第一当DP垂直DB于D时，(3-X)^2+1/4+45/4=X^2+4，解得X=-11/4，P点坐标为（-11/4，0）；
第二当DP垂直DB于P时，(3-X)^2+1/4+X^2+4=45/4，解得X=(3+根号5)/2或（3-根号5）/2，P点坐标为[(3+根号5)/2，0]或[(3+根号5)/2，0]；
第三当DP垂直DB于B时，45/4+X^2+4＝(X-3)^2+1/4，解得X=1，P点坐标为（1，0）；
当二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2时，一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为（5，9/2），设P（X，0），DB^2=125/4，分三种情况讨论：
第一当DP垂直DB于D时，(5+X)^2+81/4+125/4=X^2+4，解得X=29/4，P点坐标为（29/4，0）；
第二当DP垂直DB于P时，(5-X)^2+81/4+X^2+4=125/4，无解；
第三当DP垂直DB于B时，125/4+X^2+4＝(X-5)^2+81/4，解得X=1，P点坐标为（1，0）；

追问

谢谢

Answer 2

解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x-2）2，
把A（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2-2x+2；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴AO BO =BO P1O ，
∴4 2 =2 OP1 ，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）同理，当D为直角顶点时，P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：OP3 DE =OB P3E ，
∴a 4.5 =2 5-a ，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．