Question

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中、底面ABCD是直角梯形,其中角CDA=角DAB=90度、DD1=DC=2AD=2AB.

1、求证、D1C垂直于AC1
2、设E是DC上一点、试确定E的位置、使D1E平行于平面A1BD、并说明理由

Answer 1

1,直四棱柱中，DD1垂直底面ABCD，AD在底面ABCD内，所以DD1垂直AD。
而AD垂直CD，且DD1交CD=D，所以AD垂直平面DD1C1C，
又D1C在平面DD1C1C内，所以D1C垂直AD。
因为DD1=DC，所以四边形DD1C1C是正方形，即D1C垂直DC1。
因为DC1交AD=D，所以D1C垂直平面ADC1，而AC1在平面ADC1内，所以D1C垂直AC1。
2,取E为DC的中点，连结BE、D1E。由题设知，ABED是正方形，BE平行且相等AD。
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面AA1D1D中，AD平行且相等A1D1。
所以BE平行且相等A1D1，即A1D1EB是平行四边行。即D1E平行A1B。
因为A1B在平面A1BD内，D1E不在平面A1BD内，所以D1E平行平面A1BD。