Question

设函数F（X）＝sin(πx/4-π/6)-2cos^πx/8+1 1,求F（X）的最小正周期 2，若函数Y＝G（X）

与Y＝F（X）的图像关于X＝1对称，求当X（0，4/3）时Y＝G（X）的最大值
设函数F（X）＝sin(πx/4-π/6)-2cos^πx/8+1
1,求F（X）的最小正周期
2，若函数Y＝G（X）与Y＝F（X）的图像关于X＝1对称，求当X（0，4/3）时Y＝G（X）的最大值

Answer 1

f(x)＝sin(πx/4－π/6)－2cos²(πx/8)＋1
＝sin(π/4)xcos(π/6)－cos(π/4)xsin(π/6)－cos(π/4)x
＝√3/2sin(π/4)x－3/2cos(π/4)x
＝√3sin[(π/4)x－(π/3)]
T=(2π)/(π/4)=8

在g(x)的图像上任取一点(x，g(x) )，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x) )
∴点(2－x，g(x) )在y＝f(x)的图像上
从而g(x)＝f(2－x)＝√3sin[(π/4)(2－x)－(π/3)]＝√3sin[(π/2)－(π/4)x－(π/3)]＝√3cos[(π/4)x＋(π/3)]
当0≤x≤4/3时，π/3≤(π/4)x＋(π/3)≤2π/3时
∴y＝g(x)在区间[0，4/3]上的最大值是：gmax＝√3cos(π/3)＝√3/2

追问

求第1问的详细步骤

追答

f(x)=(√3/2)sin(πx/4 )-(3/2)cosπx/4(sin后面展开，第二项降次扩角公式)
=√3sin(πx/4 - π/3)

追问

－2cos²(πx/8)＋1
怎么化啊

追答

f(x)=sin(πx/4)cos(π/6)-sin(π/6)cos(πx/4)-[2cos²（πx/8) -1]
=3^0.5/2sin(πx/4)-0.5cos(πx/4)-cos(πx/4)
=3^0.5/2sin(πx/4)-3/2cos(πx/4)
=[(3^0.5/2)²+1.5²]^0.5sin(πx/4+φ)
tanφ=-(3/2)/(3^0.5/2)=-3^0.5
φ=-π/3
∴f(x)=√sin(πx/4-π/3)

Answer 2

1