Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明：A1D⊥平面AB1C1

求二面角B-AB1-C1

Answer 1

第一个问题：
令AD与AC1的交点为E。
∵∠ACB＝90°、BC＝1、AB＝2，∴∠BAC＝30°，∴AC＝√3。
∵ABC－AB1C1是直三棱柱，
∴∠CC1A1＝∠AA1C1＝90°、CC1＝AA1＝√6、A1C1＝AC＝√3，
又CD＝C1D，∴C1D＝CC1/2＝√6/2。
∴tan∠A1DC1＝A1C1/C1D＝√3/（√6/2）＝2/√2＝√2。
　tan∠AC1A1＝AA1/A1C1＝√6/√3＝√2。
∴tan∠A1DC1＝tan∠AC1A1，显然，∠A1DC1、∠AC1A1都是锐角，
∴∠A1DC1＝∠AC1A1，又∠DA1C1＝∠C1A1D，∴∠DC1A1＝∠C1EA1＝90°，
∴A1D⊥AC1。

∵ABC－AB1C1是直三棱柱，∴BC⊥CC1、又BC⊥AC、BC∩AC＝C，∴BC⊥平面AA1C1C。
∵ABC－AB1C1是直三棱柱，∴BC∥B1C1，
∴B1C1⊥平面AA1C1C，而A1D在平面AA1C1C上，∴A1D⊥B1C1。
由A1D⊥AC1、A1D⊥B1C1、AC1∩B1C1＝C1，得：A1D⊥平面AB1C1。

第二个问题：
过C1作C1F⊥AB1交AB1于F，过F作FG⊥AB1交BB1于G。
∵AA1⊥A1C1、AA1＝√6、A1C1＝√3，∴AC1＝√（AA1^2＋AC1^2）＝√（6＋3）＝3。
∵ABC－AB1C1是直三棱柱，∴BB1＝AA1＝√6、∠ABB1＝90°。
∴AB1＝√（AB^2＋BB1^2）＝√（4＋6）＝√10。

∵B1C1⊥平面AA1C1C，∴AC1⊥B1C1，∴AC1×B1C1＝AB1×C1F，
∴C1F＝AC1×B1C1/AB1＝3×1/√10＝3/√10。
∴B1F＝√（B1C1^2－C1F^2）＝√（1－9/10）＝1/√10。

∵∠GB1F＝∠AB1B、∠GFB1＝∠ABB1＝90°，∴△GFB1∽△ABB1，∴GF/FB1＝AB/BB1，
∴GF＝AB×FB1/BB1＝1×（1/√10）/√6＝1/（2√15）。
∴GB1＝√（B1F^2＋GF^2）＝√（1/10＋1/60）＝√7/（2√15）。

∵ABC－AB1C1是直三棱柱，∴∠C1B1G＝90°，
∴C1G＝√（B1C1^2＋GB1^2）＝√（1＋7/60）＝√67/（2√15）。

由余弦定理，有：
cos∠C1FG＝（GF^2＋C1F^2－C1G^2）/（2GF×C1F）
＝（1/60＋9/10－67/60）/｛2×［1/（2√15）］［3/√10］｝
＝－（12/60）/（12×5√6）＝－1/（300√6）＝－√6/1800。

∵C1F⊥AB1、GF⊥AB1，∴∠C1FG是二面角B－AB1－C1的平面角，
∴二面角B－AB1－C1的大小为arccos（－√6/1800）。