Question

大学解几：有仿射变换t:x'=-2x+3y-1,y'=4x-y+3;如作仿射坐标变换：x=2x''-y''+4,y=3x''+2y''+5,求t新公式

Answer 1

解：（1）依题意可知 解得a2=3，b2=1
∴椭圆方程为 ，焦点坐标为F1（ ，0），F2（- ，0）
依题意F1′的坐标为（ ， ），F2′（- ，- ）
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有 m+ n=m，整理的m=3n，代入椭圆方程得
，解得n= ，m= 或n=- ，m=-
∴不动点坐标为（ ， ）（- ，- ）
（3）由（2）可知，曲线M在变换T下的不动点P（x，y）需满足
情形一：据题意，不妨设椭圆方程为 （m＞0，n＞0），
则有 ．
因为m＞0，n＞0，所以 恒成立，
因此椭圆在变换T下的不动点必定存在，且一定有2个不动点．
情形二：设双曲线方程为 （mn＜0），
则有 ，因为mn＜0，
故当9n+m=0时，方程 无解；
当9n+m≠0时，故要使不动点存在，则需 ，
因此，当且仅当 时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
进一步分类可知，
（i）当n＜0，m＞0时， ．
即双曲线的焦点在
轴上时，需满足 时，双曲线在变换
下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
（ii）当n＞0，m＜0时， ．
即双曲线的焦点在y轴上时，需满足 时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．