Question

已知函数f（x）=loga（a-a*x）（a＞1）。 （1）求f（x）的定义域、值域。 （2）讨论f（x）的单调性。

Answer 1

f(x)=loga(a-a*x)=loga[a(1-x)]=logaa+loga(1-x)=1+loga(1-x)
1-x>0
∴x<1
值域为R
(2)f(x)=1+loga(1-x)
设任意x1,x2∈(-∞,1),且x1>x2
f(x1)-f(x2)=loga(1-x1)-loga(1-x2)=loga[(1-x1)/(1-x2)]
x1>x2
∴1-x1<1-x2
(1-x1)/(1-x2)<1
a>1
∴loga[(1-x1)/(1-x2)]<0
∴函数为减函数

Answer 2

(1) a-a^x>0
a^x<a=a^1-------->a>1
x<1
定义域{x|x<1},
值域为R
(2) f(x)=loga(a-a^x)它是个复合函数
由y=logat,t=a-a^x
a>1,y=logat在定义域内是增函数
a^x也是增函数,-a^x是减函数,a-a^x是减函数
所以它的复合函数f(x)=loga(a-a^x)是减函数
下面给予证明,设x1<x2<1
a^x1<a^x2
-a^x1>-a^x2
a-a^x1>a-a^x2
f(x1)=loga(a-a^x1)>f(x2)=loga(a-a^x2)
所以f(x)=loga(a-a^x)是减函数