Question

各位好 我在学习复变函数 其中在级数等问题上的第一步一般是原式裂项 但我一直裂不开 请问有什么诀窍吗？

如
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z(z+i)(z-i)

Answer 1

常用的方法是待定系数法来裂项，
设1/z(z+i)(z-i)=a/z+b/(z+i)+c/(z-i)
去分母得：1=a(z+i)(z-i)+bz(z-i)+cz(z+i)
1=a(z^2+1)+bz^2-ibz+cz^2+icz=z^2(a+b+c)+z(-ib+ic)+a
对比系数得：a=1, -ib+ic=0, a+b+c=0
解得：a=1, b=c=-1/2

追问

那你的系数中能算出带未知数的解吗 比如解为a=3z b=2 c=1
待定系数能算出来吗？

追答

如果分母有二次因式(但在复数范围内，都可以分解成一次因式），那分子就会可能有一次因式.
比如1/z(z^2+1)=a/z+(bz+c)/(z^2+1)
这样同样得：1=a(z^2+1)+(bz+c)z=(a+b)z^2+cz+a
得：a=1, c=0,. a+b=0,
解得：a=1, b=-1, c=0.