Question

设随机变量X与Y独立同分布，E(X)=E(Y)=μ，D(x)=D(Y)=σ2，随机变量ξ=αx+βy，η=αx-βy． 求：

A.

Answer 1

【答案】：E(ξ)=E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y)=(α+β)μ，
E(η)=E(αX-βY)=αE(X)-βE(Y)=(α-β)μ，
D(ξ)=E[(αX+βY)-E(αX+βY)]²=E[α(X-μ)+α(Y-μ)]²
=α²E(X-μ)²+β²E(Y-μ)²+2αβE(X-μ)(Y-μ)
=(α²+β²)σ²．
同理D(η)=(α²+β²)σ²，
E(ξη)=E[(αX+βY)(αX-βY)]=E(α²X²-β²Y²)
=α²E(X²)-β²E(Y²)
=α²[D(X)+E²(X)]-β²[D(Y)+E²(Y)]
=(α²-β²)(σ²+μ²)，
cov(ξη)=E(ξη)-E(ξ)E(η)
=(α²-β²)(σ²+μ²)-(α²-β²)μ²
=(α²-β²)σ²$当|α|=|β|时，ρ_ξη=0，ξ与η不相关．