Question

双曲线x^2-y^2/3=1有两个动点P1P2，P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）P1P1中点为M，求M轨迹方程

Answer 1

“点差法”是解决中点问题的常用方法。
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，M(x,y)，则2x=x1+x2，2y=y1+y2，且
3x1²-y1²=3 (1)
3x2²-y2²=3 (2)
(2)-(1)，得
3(x2-x1)(x1+x2)-(y2-y1)(y1+y2)=0
由于P1P2的垂直平分线L经过点A（0,4）从而，x1≠x2，
所以P1P2的斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)=3(x1+x2)/(y1+y2)=3x/y
又MA的斜率k2=(y-4)/x，
因为 P1P2垂直于MA，从而 k1k2=-1，
即 (3x/y)•(y-4)/x=-1，
化简得 xy-3x=0

追问

(3x/y)•(y-4)/x=-1，
化简得不到 xy-3x=0 啊？求详解

追答

3x(y-4)/(xy)=-1
3x(y-4)=-xy
3xy-12x=-xy
4xy-12x=0
xy-3x=0

追问

3x(y-4)/(xy)=-1
3x(y-4)=-xy
3xy-12x=-xy
4xy-12x=0
xy-3x=0 第一步为什么不把X约分掉？

追答

哦，应该约掉。没注意。

Answer 2

应该有两个答案的。因为P1P2的斜率未知，所以有两种可能。
解：设P1P2：y=kx+b
带入双曲线得：3x^2-(kx+b）^2=3
∴(3-k^2)x^2-2kbx-b^2-3=0
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
得M(kb/(3-k^2),(bk^2/(3-k^2))+b)
根据K的取值分类讨论
①当k=0时,轨迹即为Y轴
②当k≠0时，kAM=k+(b-4)(3-k^2)/kb=-1/k 从而得到b=3-k^2
∴M(k,3)
又∵P1P2与双曲线有两个交点
∴△>0
∴k^2<3或k^2>4
∴此条件的轨迹为Y=3(-根号3<x<根号3 或 x>2 或 x<-2)

希望这个答案对你有帮助。