Question

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m （1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点 （2）设函数G（x）=f（x）-g

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）证明∵f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m=0时，
则△=（m-2）2-4（m-3）=（m-4）2≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m=0有解
函数f（x）-g（x）必有零点
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x2+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0则△=（m-2）2-4（m-2）=（m-2）（m-6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=-x2+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x2+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是减函数，则2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x2+（2-m）x+m-2|
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数
所以方程x2+（2-m）x+m-2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且 x=m-22≤-1，得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

Answer 2

解：（1）证明∵f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m=0时，
则△=（m-2）2-4（m-3）=（m-4）2≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m=0有解
函数f（x）-g（x）必有零点
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x2+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0则△=（m-2）2-4（m-2）=（m-2）（m-6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=-x2+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x2+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是减函数，则2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x2+（2-m）x+m-2|
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数
所以方程x2+（2-m）x+m-2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且 x=m-22≤-1，得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

Answer 3

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