Question

初中一道几何奥数难题

设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R，CQ与DE相交于点P，求S△ABC与S△PQR的比值

Answer 1

S△ABC与S△PQR的比值＝4/﹙7-3√5﹚≈13.708
奥数题，应该不限定方法。用向量作。
设DF＝e FE＝d ED＝f 则e+d+f＝0 [e,d,f是向量]
设DR＝te, FQ＝td EP＝tf BR＝sBP [t.s是正数]
BR＝BD+DR＝FE+DR＝d+te
BP ＝d-f+tf
∴d+te＝s﹙d-f+tf﹚
﹙1-s﹚d+te+s﹙1-t﹚f＝0
∵e+d+f＝0 ∴1-s＝t＝s﹙1-t﹚ 解得t＝﹙3-√5﹚/2 s＝﹙√5-1﹚/2
设AB＝2 则DF＝1 DR＝﹙3-√5﹚/2 DP＝﹙√5-1﹚/2
S⊿ABC/S△PQR＝2×2/[1×1-3×﹙﹙3-√5﹚/2﹚×﹙﹙√5-1﹚/2﹚]＝4/﹙7-3√5﹚

Answer 2

说说思路
PQR三点在三角形DEF中是唯一的点，从图形中可以看出三角形ABR和三角形BCP用三角形CAQ均为全等三角形，由此，我们设三角形ABC边长为2.在三角形ABR和三角形AFR中，它们是相似的，所以AR＝根号2,在三角形AFR中，AF＝2，AR＝根号2,角AFB＝120度，由余弦定理可以算出
QF＝（1+根号17）/8，BR＝（根号2+根号34）/8
这样可以算出三角形ABR面积为（根3+根号51）/16
于是三角形PQR面积＝三角形ABC面积-3*三角形ABR面积
两者之比可以算出来16/（13-根号17）
具体计算你再重算一次