Question

高中函数题,求过程,谢谢!

我们知道,函数3^x满足:3^0=1, 3^x*3^y=3^(x+y)(x,y属于R).现以函数3^X为模型,则可以构造函数g(x)满足g(0)=1, g(x)*g(y)=g(x+y).同理,对于函数log3(x),满足log3(1)=0,
log3(xy)=log3(x)+log3(y)(x>0.y>0),以函数log3(x)为模型可以构造函数f(x).
(1)类比g(x)写出f(x)所满足的条件;
(2)对于函数f(x),求证:对于任意正实数x,y都有f(x/y)=f(x)-f(y)
(3)若当x>1时,f(x)>0且f(4)=2
①求证:f(x)在(0,正无穷大)上是增函数
②设F(x)={f(x²)+1/f(x²), -1<x<0
-f(x²)-1/f(x²), 0<x<1
解方程F(x)=F(-x)+5

Answer 1

(1)函数f(x)满足f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y).
(2)对于任意正实数x,y都有f(x)=f[(x/y)y]=f(x/y)+f(y)，所以f(x/y)=f(x)-f(y).
(3)①因为当x>1时,f(x)>0
设x1>x2>0，则x1/x2>1，所以f(x1/x2)>0，由(2)知f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)，所以:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②当-1<x<0，F(x)=f(x²)+1/f(x²)；当0<x<1，F(x)=-f(x²)-1/f(x²),
故当 -1<x<0时，0<-x<1，则有F(-x)=-f[(-x)²]-1/f[(-x)²]=-[f(x²)+1/f(x²)]=-F(x)
当0<x<1时，-1<-x<0，则有F(-x)=f[(-x)²]+1/f[(-x)²]=f(x²)+1/f(x²)=-F(x)
因此,F(x)是奇函数.F(-x)=-F(x)
方程F(x)=F(-x)+5,即为F(x)=5/2.
当-1<x<0时，f(x²)+1/f(x²)=5/2，
解得f(x²)=2或f(x²)=1/2
又f(4)=2，而f(2)+f(2)=f(2*2)=f(4)=2，所以f(2)=1
又2f(√2)=f(√2*√2)=f(2)=1，所以f(√2)=1/2
因此x²=4或x²=√2,(均不合题意，舍去）
当0<x<1时，f(x²)+1/f(x²)=-5/2,
解得f(x²)=-2或f(x²)=-1/2
f(1/4)=f(1)-f(4)=0-2=-2，f(1/√2)=f(1)-f(√2)=0-1/2=-1/2,
因此x²=1/4或x²=1/√2=√2/2
所以原方程的解是x=1/2或x=√(√2/2)