Question

已知函数y=f(X)的图象关于点(-1,0)对称,且当x∈(0,∞)时,f(X)=1/x，则当x∈(-∞，-2)时，f(x)的解析式为

求详细过程，谢谢。

Answer 1

由于函数y=f(X)的图象关于点(-1,0)对称，
所以 f(-1+x)=-f(-1-x)
用x+1替换x，得f(x)=-f(-2-x)
当x∈(-∞，-2)时，-2-x∈(0，+∞)
从而 f(x)=-f(-2-x)=-1/(-2-x)=1/(x+2)
即f(x)=1/(x+2)

追问

为甚麼第二步的 "所以 f(-1+x)=-f(-1-x)"中， 是-f(-1-x) 而不是 f(-1-x)？

追答

1. f(-1+x)=f(-1-x)，表示-1+x和-1-x的函数值相等，图像关于直线x=-1对称。
2. f(-1+x)=-f(-1-x)，表示-1+x和-1-x的函数值互为相反，图像关于点(-1，0)对称。

追问

1.由于函数y=f(X)的图象关于点(-1,0)对称，所以才会有 f(-1+x)吧？
2.那麼如果按照原题目，但将 ""关于点(-1,0)对称"" 改为 ""关于直线x=-1对称"" ，答案是不是就会变为 f(x)= - 1/(x+2) ？
麻烦你了，谢谢。

追答

1.是的，以(-1，0)为对称点，-1+x，-1-x这两个值，一左一右，离点(-1,0)一样远，从而它们的函数值相反，即f(-1+x)=-f(-1-x).
2.答案变为 f(x)= - 1/(x+2)，没有错。

Answer 2

令x1∈(0,∞),则点（x1,f(x1))其关于(-1,0)的对称点坐标(x2,f(x2))有x2∈(-∞，-2)
可知：(x1+x2)/2=-1, (f(x1)+f(x2))/2=0
有：x1=-2-x2 ,f(x1)=-f(x2)
因f(x1)=1/x2,所以-f(x2)=1/(-2-x2),即f(x2)=1/(2+x2)
x∈(-∞，-2)时，f(x)的解析式为f(x)=1/(2+x2)