Question

求解一道高一数学题，急急！！

如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB=90°，CA=CB，△ABD是正三角形，则二面角C-BD-A的平面角的正切值为？

Answer 1

取AB中点E，作EF垂直BD，连接CE，DE，CF
E为AB中点、CA=CB、△ABD是正三角形 ==>> CE、DE⊥AB
平面ABC⊥平面ABD ==>> CE⊥平面ABD
EF垂直BD ==>> tg∠CFE=tg二面角C-BD-A的平面角
CEF是直角三角形 ==>> tg∠CFE=CE/EF
∠ACB=90°，CA=CB ==>> CE=BE
△ABD是正三角形 ==>> ∠ABD为60 ==>>EF=BE*sin60
tg∠CFE=CE/EF=1 / sin60=2√3／3

追问

你只说EF⊥BD，没证明CF⊥BD，怎么能说∠CEF就是这个平面角?
望解释，谢谢！！

追答

= =
EF⊥BD
CE⊥平面ABD ==>> CE⊥BD
BD⊥面CEF
CF⊥BD

Answer 2

解：用面积投影法。 

∵ABC是等腰直角三角形，AC=BC。ABD是正三角形 

取AB中点E。连EC，ED易知CE⊥AB，AB⊥ED 

且平面ABC垂直于平面ABD, 

∴平面CED垂直于平面ABD,三角形 EBD是三角形BCD在平面ABD上投影。 

二面角C-BD-A为α 

令AC=BC=2a 则AB=AD=BD=2a√2 ED=a√6 CE=a√2 

CD=√[CE+ED]= 2a√2 

等腰三角形BCD中： BD=CD=2a√2 BC=2a 

则其面积为：S=（1/2）×BC×√[CD＾-（BC/2）＾]=（a＾）×√7 

直角三角形EBD中： ED=a√6 BE=a√2 

则其面积为：S1=（1/2）×BE×ED=（a＾）×√2 

cosα=S1/S=√2/√7=（√14）/7 

tanα=√[[（1/cosα）＾-1]=（√10）/2

追问

但是这道题的答案是2√3／3啊？
我只知道答案，不会做

Answer 3

做CE⊥AB,E在AB中点上，再做EF⊥BD，F在BD上，根据题意，CE⊥面ABD，EF⊥BD，所以面角C-BD-A的平面角是∠CFE，CA=CB，△ABD是正三角形，设CA=CB=1，则AB=BD=AB=√2，CE=√2/2，EF=√6/4，正切角为CE/EF,为2√3／3

Answer 4

根号3/3

Answer 5

都忘了呢。。。记不得了