Question

在矩形ABCD中，AB=3又庚号3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点P,且平面A...

在矩形ABCD中，AB=3又庚号3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点P,且平面ABD垂直面ABP
1.求证:BP垂直面ADP
2.求直线AB和平面ADP所成的角余弦值
3.求直线AB和平面BPD所成的角正弦值
求详细分析解答

Answer 1

证明：（I）由题意知，PO⊥面ABD，
∵PO⊂ABP，
∴面ABP⊥面ABD，
又∵AD⊥AB，面ABP∩面ABD=AB，
∴AD⊥面ABP，
∴ AD⊥BP，
∵BP⊥PD
∴BP⊥面APD，
∴BP⊥AP，
（II）∵BP⊥APD，BP⊂面BPD，
∴面APD⊥面BPD．
作AH⊥PD于H，则AH⊥面BPD，连BH，则BH为AB在面BPD上的射影，
∴∠ABH为AB与面BPD所成的角．
又在Rt △APD中，C′D=33，AD=3，
∴ AP=32，∴ AH=6
∴ sin∠ABH=AHAB=23，
即AB与平面BPD所成角的正弦值为 23．