Question

已知四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AD‖BC,AB⊥AD,AC与BD交于点O,又PA=3,AD=2,AB=Z根号3，BC=6.

求直线PO与面PAB所成角的正弦值。

Answer 1

解：∵PA⊥底面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.
∵AD⊥AB,,∴AD⊥平面PAB.
过O点作OE⊥AB于E点,连接PE.∴OE⊥平面PAB. ∴OE⊥PE..而PE是PO在平面PAB上的射影。故∠OPE即为直线PO与平面PAB所成的角。
sin∠OPE=OE/PO.
利用已知条件和几何关系求出OE,OP，就可求得sin∠OPE.

在Rt△BAD中，tan∠ADB=AB/AD=2√3/2=√3.
∴∠ADB=π/3.
∵ OE∥AD∥BC,∴∠BOE=π/3,
在rt△ABC中，tan∠ACB=AB/BC=2√3/6=√3/3.
∴∠ACB=π/6.
∴∠AOE=ACB=π/6.
∠AOB=∠AOE+∠BOE=π/6+π/3=π/2
∴△AOB我直角三角形，AB为斜边。
∴AO=(1/2)AB= √ 3
OE=AO*cos∠AOE=AOcosπ/6=√3*√3/2=3/2.
在Rt△PAO中，PO^2=PA^2+AO^2=3^2+(√3)^2=12.
∴PO=2√3.
sin∠OPE=OE/PO=(3/2)/(2√3).
=√3/4. ----即为所求。

这是我自己做的，不是求助的。