Question

线性代数：矩阵A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，则λ=2有两个线性无关的特征向量。

问：1我好想学蒙了，为什么前两句话能推出第三句话？请给出定理或定义。
2如果仅仅给出 λ=2是A的二重特征值，能推出 则λ=2有两个线性无关的特征向量。吗？
谢了。我财富好像不算多。。。

Answer 1

1、根据定义：Ax=λx，那么x是特征向量，λ是特征值
当λ=2是二重特征值时，Ax=2x要有两个线性无关的解，这样A的特征无关向量才能有3个
2、这是不能的，λ=2是A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个，如果是前一种，A可以相似对角化，后一种不行

追问

哦，谢谢了，我似乎明白了。
是不是因为λ=2是A的二重特征值，如果对应的2个特征向量相关，即认为二重特征根只对应一个特征向量时，还剩下一个特征值最多对应一个特征向量，则一共最多两个线性无关的向量了，就不是3个了。所以对应的两个特征向量一定线性无关？
另外，你的第二个回答太好了，我正做A是否可以相似对角化的问题，知道N重特征值若对应N个线性无关特征向量A就一定可以相似对角化。但回头看1问时，当时有点晕头转向