Question

求解一道数学题（圆锥曲线）

椭圆的方程为(x^2/5)+y^2=1,过椭圆的右焦点F作直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若向量MA=λ1向量AF，向量MB=λ2向量BF，求证：λ1+λ2为定值.

Answer 1

答案为-10 证明 先由椭圆的方程为(x^2/5)+y^2=1,求出右焦点F(2,0)再由过椭圆的右焦点F的直线L交y轴于M点 即其存在斜率k 由点斜式方程设l:y=k*(x-2) 此时再与(x^2/5)+y^2=1联立的方程(5k^2+1)x^2-20k^2*x+5(4k^2-1)=0 设A、B两点的横坐标分别为 x1、x2既有维达定理的x1+x2=(20k^2)/(5k^2+1) x1*x2=5(4k^2-1)/(5k^2+1) 且有点M(0,-2k) 既得向量MA=(x1,kx1) AF=(2-x1,k(2-x1)) 既得λ1=x1/(2-x1) 同理可得λ2=x2/(2-x2) 则λ1+λ2=2(x1+x2-x1*x2)/( x1*x2+4-2(x1+x2)) 再把刚才的维达定理带进去得(10/(5k^2+1))/(-1/((5k^2+1))=-10