Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）若E为边OA上的一个动点，求△CDE周长的最小值；
（3）若E、F为线段边OA上的两个动点（点E在点F左边），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

Answer 1

3. 在CB上取CM=2，则M（1，4），在y轴的负半轴上取D的对称点N（0，-2），连接MN交X轴于点E，连接DE，CF，此时四边形CDEF的周长最小。（按我的叙述画图）
因为CD，EF是定值，只要DE+CF最小即可。按上述作图，DE+CF=MN（两点间线段最短）
设直线MN的解析式为Y=KX+B，则
B=-2，K+B=4，
K=2，解析式为：Y=2X-2
当Y=0时，2X-2=0，X=1，
所以，点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3,0) 2. 设点E的坐标为（x,0）则点F的坐标为（x+2，0），C为(0，根号7)，D为（3/2，2分之根号7）边CD=根号下（3/2的平方+（2分之根号7）的平方）=2(其实D为矩形的中心)
边CE=根号下（x的平方+（根号7）的平方）
边DF=根号下（（x+2-3/2）的平方+（2分之根号7）的平方）
边EF=2
以此建立四边形CDEF周长的方程
S=CD+CE+DF+EF
=4+根号下（（x的平方）+7）+根号下（（x+1/2）的平方+7/4）
求方程的最小值得x的值为0
也就是说只有在点E和原点重合的时候周长才是最小，最小周长为8.06