Question

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=√6／3，

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=√6／3，且过点 p﹙1,1﹚
⑴求椭圆的方程；
⑵ 若点A﹙x0,yo﹚为圆x²+y²=1上任一点，过点作圆的切线交椭圆于B、C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）.

Answer 1

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=√6／3，且过点 p﹙1,1﹚
⑴求椭圆的方程；
⑵ 若点A﹙x0,yo﹚为圆x²+y²=1上任一点，过点作圆的切线交椭圆于B、C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）.
(1)解析：∵椭圆的焦点在X轴上，离心率e=√6／3，且过点 p﹙1,1﹚
∴e=c/a=√6/3==>c=√6a/3
a^2+b^2=a^2b^2==>2a^2-c^2=a^4-a^2c^2==>2a^2-2/3a^2=a^4-2/3a^4
==>4/3a^2=1/3a^4==>a^2=4,c^2=8/3,b^2=4/3
∴椭圆的方程为：x^2/4+3y^2/4=1
(2)解析：点A(x0,y0)为圆x^2+y^2=1上任一点
∴过点A(x0,y0)，圆的切线:
OA斜率为y0/x0==>切线斜率k=-x0/y0
∴切线方程为：y-y0=k(x-x0)==>y=kx+1/y0
令y=0,切线交X轴x0/y0x=1/y0==>x=1/x0
∴切线方程或为：x=my+1/x0 (m=1/k=-y0/x0)
Y^2=k^2x^2+1/y0^2+2k/y0x，x^2=m^2y^2+1/x0^2+2m/x0x
Y^2代入椭圆得：(1+3k^2)x^2+6k/y0x+3/y0^2-4=0
由韦达定理得x1x2=(3/y0^2-4)/(1+3k^2)=(3-4y0^2)/(y0^2+3x0^2)
x^2代入椭圆得：(3+m^2)y^2+2m/x0y+1/x0^2-4=0
由韦达定理得y1y2=(1/x0^2-4)/(3+m^2)=(1-4x0^2)/(3x0^2+y0^2)
∴x1x2+y1y2=(3-4y0^2)/(y0^2+3x0^2)+(1-4x0^2)/(3x0^2+y0^2)=0
∵B(x1,y1),C(x2,y2)
∴向量OB=(x1,y1)，向量OC=(x2,y2)
∴向量OB•向量OC=x1x2+y1y2=0==>向量OB⊥向量OC
即OB⊥OC