Question

如图椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1与经过点A（2,0）B(0,1)的直线有且仅有一个交点T且e=二分之根号三 。

1.求椭圆的方程。 2。设F1，F2分为左右焦点，求证|AT|^2=1/2|AF1|*|AF2|

Answer 1

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与经过点A(2, 0)、B(0, 1)的直线有且仅有一个交点T，且e=(√3)/2。
（1）、求椭圆的方程。
（2）、设F1、F2分别为椭圆的左右焦点，求证|AT|^2=1/2*|AF1|*|AF2|。

解：
（1）由于没有附图，对于第（1）小问，可能有两种情况——椭圆的长轴分别在x轴、y轴上。
考虑到第二问中的条件，假定椭圆的长轴在x轴上。
过A、B的直线方程为： x/2+y=1， …… ①
即：x=2-2y， …………②
椭圆方程为： x^2/a^2+y^2/b^2=1， ……③
②代入③得：(2-2y)^2/a^2+y^2/b^2=1，
化简得：
(4*b^2+a^2)*y^2-8*b^2*y+b^2*(4-a^2)=0， …… ④
这是一个关于y的二次方程，由于椭圆与直线相切，即方程组①、②只有一个解，判别式Δ=0，
即，(8*b^2)^2 - 4*(4*b^2+a^2)*b^2*(4-a^2)=0，
化简得：4*a^2*b^2*[a^2+4*b^2-4]=0，
因为a^2*b^2≠0， 所以a^2+4*b^2-4=0，……⑤
又因为e=(√3)/2，e=c/a=√(a^2-b^2)/a，
所以， (√3)/2=√(a^2-b^2)/a， …… ⑥
⑤、⑥联立解得a^2=2，b^2=1/2。
所以，椭圆方程为：x^2/2+2y^2=1。

（2）把a^2、b^2的值代入④得：4*y^2-4*y+1=0，
解之，y=1/2;
代入①得，x=1。
故切点T的坐标为(1, 1/2)。
有椭圆方程知，c=(√6)/2。
椭圆的两个焦点为F1(-(√6)/2, 0)、F2( (√6)/2, 0)，
|AF1|=2+(√6)/2，|AF2|=2-(√6)/2，
|AF1|*|AF2|=2^2-[(√6)/2]^2=5/2。
|AT|^2=(2-1)^2+(1/2)^2=5/4，
所以 |AT|^2=1/2*|AF1|*|AF2|。
证毕。