Question

双曲线x^2/4-y^2=1与直线y=kx+1有唯一公共点,则k值为

RT

Answer 1

x²/4-y²=1
x²-4y²=4
将y=kx+1代入
x²-4(kx+1)²=4
(1-4k²)x²-8kx-8=0
1-4k²=0的时候
k=±1/2
当1-4k²不为0的时候
根据题意，判别式=64k²+32(1-4k²)=0
2k²+1-4k²=0
2k²=1
k²=1/2
k=±√2/2

Answer 2

解：将两方程联立，
x^2/4-y^2=1
y=kx+1
得：
（1-2k^2）x^2-4kx-6=0
i) 当2k^2=1,即k=±(根号2) / 2时，原方程化为-4kx=6,x=-3/2k，只有一个解，即双曲线与直线仅一个交点
ii) 当2k^2≠1时,△=16k^2+24(1-2k^2)=24-32k^2
若24-32k^2=0，即k=±(根号3) / 2，△=0，只有一个解，即双曲线与直线仅一个交点

综上，
k∈{ (根号2) / 2，-(根号2) / 2，-(根号3) / 2，(根号3) / 2 }时，一个交点