Question

高一数学：已知α，β是锐角，α+β≠π/2，且满足3sinβ=sin(2α+β）

（1）求证：tan(α+β）=2tanα
（2）求证：tanβ≤√2/4，并求等号成立时tanα与tanβ的值

悬赏分可以加

Answer 1

证明：由3sinβ=sin(2α+β)得3sin[(α+β)-α]=sin[ (α+β)+α],即3[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα所以2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,即tan(α+β)=2tanα.
解：
α与β是锐角,α+β不等于90°
tan(α+β)=2tanα
(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=2tanα
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
tanβ≤√2/4
tanα/(1+2tan^2α)≤√2/4
2√2*[tanα-(√2/2)]^2≥0
设tanα=√2/2,则sinα=1/√3,cos=√(2/3)
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)=(√2/2)/[1+2(√2/2)^2]=√2/4

3sinβ=sin(2α+β)
3sinβ=sin(2α)*cosβ+cos(2α)*sinβ
3tanβ=2sinα*cosα+(1-2sin^α)*tanβ
tanβ=sinα*cosα/(1+sin^2α)=(1/√3)*√(2/3)/[1+(1/√3)^2]=√2/4
故tanα=√2/2,tanβ=√2/4

Answer 2

吧a+b当成一个整体化简条件即可！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

追问

= =这么想过了但是做不出。能再具体点么

追答

左边是a+b-a，右边是a+b+a，都要当整体

Answer 3

嘻嘻你是高一的的么
3sinβ=sin(2α+β）
3sin（α+β-α）=sin(α+α+β）
3sin(α+β)cos(a)-3cos(a+b)sinb=sin(a)cos(a+b)+sin(a+b)cosa
2sin(α+β)cos(a)=4sin(a)cos(a+b)
同时除以cosa
2sin(α+β)=4tanacos(a+b）同时除以cos(a+b）tan(α+β)=2tana