Question

若f(x)的最小正周期是T,求证f(ax)的最小正周期是T/|a|

Answer 1

证：首先证明：-T也是周期。在f(x)=f(x+T)中，用 x-T替换x，得 f(x-T)=f[(x-T)+T]=f(x)
从而 -T也是函数的周期。
设g(x)=f(ax) 则 g(x+T/|a|)=f[a(x+T/|a|)]=f(ax±T)=f(ax)=g(x)，从而T/|a|是y=f(ax)函数的一个周期。
假设 设M也是函数g(x)=f(ax)的周期，且 0<M<T/|a|，则g(x+M)=g(x)
即 f[a(x+M)]=f(ax)，f(ax+aM)=f(ax)，从而 |a|M是函数y=f(x)的一个周期，
而 |a|M<|a|•T/|a|=T，与T是f(x)最小正周期矛盾。从而，f(ax)的最小正周期是T/|a|。

Answer 2

f(ax)=f(ax+T)=f(a(x+T/a))
命题得证