Question

已知函数f(x)满足2f(x+2)=f(x)当x属于(0,2)时,f(x)=lnx+ax(a<-1/2),当x属于(-4,-2)时,f(x)的最大值为-4求x

属于(0,2)时函数f(x)的解析式
2.是否存在实数b使得不等式(x-b)/f(x)+x>根号x对于x属于(0,1)U(1,2)时恒成立

Answer 1

解：1，由于f(x)=lnx+ax，x∈(0,2)，当x+2∈(0,2)时，f(x+2)=ln(x+2)+a(x+2),此时x∈（-2,0），
又因为2f(x+2)=f(x),所以x∈（-2,0)时f(x)=2ln(x+2)+2a(x+2),
同理可得：x∈(-4,-2)时，f(x)=4ln(x+4)+4a(x+4),
此时f'(x)=4/(x+4)+4a,由于(-4,-2)是开区间所以最大值不可能在端点，所以f(x)在(-4,-2)
上必不是单调函数，必存在驻点，观察4/(x+4)在(-4,-2)上由+∞变化到2，而a<-1/2,
所以4a＜-2，所以可以判断出来f(x)在(-4,-2)上存在先增后减，所以f'(x)=0得x=-4-1/a,
代入f(x)=4ln(x+4)+4a(x+4)=-4，的a=-1。
所以x∈(0,2)时，f(x)=lnx-x。