Question

在平行四边形ABCD中对角线AC和BD相交于点O，AC＝10,BD＝8若AC与BD的夹角∠AOD＝60°，求ABCD的面积

试讨论，若把题目中的“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”且∠AOD＝θ,AC＝a,BD＝b,试求四边形ABCD的面积（用含θ,a,b的代数式表示）
4*（1/2）*AO*DO*sin60
这步是为什么?

Answer 1

解：因为在平行四边形ABCD中，AO=CO=5,BO=DO=4
所以△AOD和△COD是等底同高三角形
所以S△AOD=S△COD
同理S△AOB=S△BCO=S△AOD
所以平行四边形ABCD面积
=4S△AOD
=4*（1/2）*AO*DO*sin60
=5√3
同样的方法，得
平行四边形ABCD面积
=4S△AOD
=4*（1/2）*AO*DO*sin60
=(1/2)absinθ

Answer 2

AC、BD将平行四边形分为4个三角形，其中△AOD、BOC的面积为,△AOB、COD的面积为1/2*AO*DO*sin(180°-60°)=1/2*AO*DO*sin60°.
因此SABCD=4*（1/2）*AO*DO*sin60°=4*1/2*10/2*8/2*√3/2=20√3
第二种情形，四个三角形面积分别为：
S△AOB=1/2*AO*BO*sinθ,S△BOC=1/2*CO*BO*sinθ,
S△AOD=1/2*AO*DO*sinθ,S△COD=1/2*CO*DO*sinθ
SABCD=1/2*AO*BO*sinθ+1/2*CO*BO*sinθ+1/2*AO*DO*sinθ+1/2*CO*DO*sinθ
=1/2*sinθ*[(AO+CO)*BO+(AO+CO)*DO]
=1/2*sinθ*(AO+CO)*(BO+DO)
=1/2absinθ

Answer 3

解：因为平行四边形对角线互相平分，所以两条对角线把平行四边形分成面积相等的四个三角形。每个三角形面积s=1/2×AC/2×BD/2×sin60°=5倍根3，.所以s平行四边形=20倍根3.。 若四边形为一般四边形，分别过A，C做AE，CF垂直B D于E,F。则AE=AOsin a CF=COsina 则s△ABD=1/2BD,AE=1/2b×AOsina， 所以.s△CBS=1/2bCOsina s四边形=1/2 b（AO+CO）sina=1/2absina

Answer 4

对于问题补充 则为三角形的面积公式S=1/2absinC =1/2bcsinA =1/2acsinB
(其中abc为三角形的三条边，ABC为三角形三边所对的角）