Question

为什么这个函数可导不连续？书上写的可导一定连续，连续不一定可导

Answer 1

当然不可导，你用求导公式去求导数看看能不能求得导数来？
不要用两边的函数式去求，要用导数的定义公式去求就知道了。
f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
用这个定义公式去求。就知道这个函数在x0点不可导。
首先分母的极限是0，但是因为lim（x→x0）f（x）≠f（x0），所以分子的极限不是0。所以f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）这个极限是无穷大，在x=x0点不可导。

追问

在某一点可导 这一点一定要在曲线上吗

追答

不是要不要在曲线上的问题，而是根据公式去计算一下，到底能不能求得这个导数出来的问题。
例如我就假设f（x）=x²（x≠3）；x=10（x=3）
就根据你画的图，来假定这样一个函数。
现在根据导数的定义公式去求f'（3）看看。
f'（3）=lim（x→3）[f（x）-f（3）]/（x-3）=lim（x→3）（x²-10）/（x-3）
到这一步，你应该看明白了吧，当x→3的时候，分子x²-10的极限是-1，分母x-3的极限是0。
那么（x²-10）/（x-3）的极限当然是∞才对。极限是无穷大，当然就不可导。
那么这个函数和g（x）=x²（x∈R）有什么不同呢？
不同之处就在于lim（x→3）f（x）=9≠f（3）
而lim（x→3）g（x）=9=g（3）
所以f'（3）=lim（x→3）[f（x）-f（3）]/（x-3）=lim（x→3）[x²-10]/（x-3）=∞，不可导
而g'（3）=lim（x→3）[g（x）-g（3）]/（x-3）=lim（x→3）[x²-9]/（x-3）=lim（x→3）（x+3）=6，可导。
我也知道，你怎么会觉得f（x）=x²（x≠3）；x=10（x=3）怎么会在x=3这点可导。因为你没有根据刚才的定义公式去做。你是想求左右导数的方法做。
而你的左导数是这样求的f'（3-）=d（x²）/dx|3-=6
右导数f'（3+）=d（x²）/dx|3+=6
左右导数相等，所以可导。
但是你忘了一点d（x²）/dx|3=6，本来就是根据x²（x∈R）这个连续函数求出来的。现在f（x）在x=3这点不连续了，当然就不能根据d（x²）/dx|3=6来求f（x）在x=3这点的左右导数，而只能根据定义公式来求。

追问

太详细了！谢谢！

我刚刚又想了想 这是为什么呀

追答

你有两点没搞对。
第一、左右极限相等，是说左右极限都是有限数的时候想相等。而无穷大与无穷大之间谈不上相等或不相等。+∞和+∞之间，-∞和-∞之间，+∞和-∞之间，都不存在相等或不相等的关系。无穷大之间，不能比大小。所以左右导数都是无穷大，不代表左右导数相等，当然也不能说左右导数不相等，因为这种情况下，根本就没导数，也就不存在相等或不相等的说法了。
第二、导数是无穷大，本身就准确的说明了这是不可导点。就像是极限为无穷大时，属于极限不存在的一种情况，而不是属于极限存在的情况一样。

追问

这次彻底懂了！谢谢

Answer 2

都不在定义域怎么能可导