Question

已知直线l过点p(2,1)，且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为？

为什么2/a+1/b大于等于2√2/ab ？

Answer 1

设直线方程 x/a+y/b＝1 则2/a+1/b＝1﹙常数﹚
∴2/a＝1/b时，﹙2/a﹚×﹙1/b﹚＝2/ab最大， S＝ab/2最小，
此时，2/a＝1/b＝1/2 S＝4 [三角形OAB面积的最小值]

为什么2/a+1/b大于等于2√2/ab ？打错了，是2/a+1/b大于等于2√2/√﹙ab ﹚
2/a+1/b-2√2/√﹙ab ﹚＝[√2/√a-1/√b]²≥0 ∴2/a+1/b大于等于2√2/√﹙ab ﹚
√2/√a＝1/√b时，即2/a＝1/b时，取等号。而 2/a+1/b＝1 ∴此时2√2/√﹙ab ﹚＝1最大
ab/2＝4最小。

Answer 2

y=ax+b
1=2a+b
b=1-2a
y=ax+1-2a
与X轴、y轴的正半轴相交
x=0,y=1-2a>0,a<1/2
y=0,x=(2a-1)/a>0,a>0时,a>1/2;a<0时,a<1/2，a<0
综上：a<0
S=1/2(1-2a)*(2a-1)/a=-1/2(4a^2-4a+1)/a=-1/2(4a+1/a-4)=[(-2a+1/(-2a)]+2>=4
当(-2a)=1/(-2a),即a=-(√2)/2时,取等号.
三角形OAB面积的最小值为4.

为什么2/a+1/b大于等于2√2/ab ？根据x^2+y^2>=2xy(其是x>0,y>0)可得.