Question

2数列{an}满足: a1=1, an+a(n+1)=3n+1, 求数列{an}的前n项和Sn以及

Answer 1

我们可以利用递推式 an + a(n+1) = 3n+1 来求出数列{an}的通项公式。将递推式两边同时减去 a(n+1)，得到：
an = 3n+1 - a(n+1)
再将 a(n+1) 替换成 3(n+1)+1 - a(n+2)，得到：
an = 3n+1 - (3(n+1)+1 - a(n+2))
= 2a(n+2) - 6
由此得到数列{an}的通项公式为：
an = -3n+6+2^(n+1)
接下来我们求前n项和Sn。由于数列{an}不是等差数列或等比数列，不能直接使用求和公式。但是，我们可以利用数列的递推式来求前n项和。具体方法如下：
将递推式两边从 a1 加到 an，得到：
a1 + a2 + ... + an + an+1 = 3×(1+2+...+n) + n
因为 a1 = 1，所以有：
a2 + a3 + ... + an + an+1 = 3×(1+2+...+n) + n - 1
再将递推式两边从 a2 加到 a(n+1)，得到：
a2 + a3 + ... + a(n+1) + a(n+2) = 3×(1+2+...+(n+1)) + (n+1)
因为 a(n+2) = -3(n+1)+6+2^(n+3)，所以有：
a2 + a3 + ... + a(n+1) = 3×(1+2+...+(n+1)) + (n+1) - [-3(n+1)+6+2^(n+3)]
将上述两个等式相减，得到：
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = 2^(n+2) - 4n - 5
因此，数列{an}的前n项和为 S_n = 2^(n+2) - 4n - 5。