Question

已知函数f(x)=ae^x-1/2x^2 1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值；2）若a=1,求证：x>0时，f(x)>1+x

详细点

Answer 1

麻烦楼主把题目打完整，要不然我还得把意思搞懂，很难求解。

追问

呃…题目就是这样的。我打的一字不漏

追答

f(x)=ae^x-1/2x^2 1) 这里是不是打错了啊？

追问

内个是括号1

追答

1) 求导f'(x)=ae^x-x ①
题目要求为增函数，所以f'(x)大于0
①等价于a>x/e^x
另g（x）=x/e^x
g‘（x）=(1-x)/e^x ②
2式当x=1的时候g‘（x）=0，所以函数g（x）的最大值为g（1）=1/e
所以a>1/e
2）若a=1,求证：x>0时，f(x)>1+x
当a=1时，即求证f(x)-x>1，即e^x-1/2x^2-x>1
令h（x）=e^x-1/2x^2-x，h（0）=1
即证明h（x）在x大于0上面是增函数即可
h‘（x）=e^x-x-1，当x取0的时候h‘（x）=0 ，x大于0的时候h‘（x）大于0
所以h（x）在x大于0上面是增函数成立，即f(x)>1+x

Answer 2

1、求导 y'=ae^x+x^(-3)>0 则a>-x^(-3)/e^x,记Y=-x^(-3)/e^x,Y 通过求导可得其最大值，a大于这个最大值
2构成一个新的函数G（x）=e^x-1/2x^2-1-x,求导，得到x>0时是增函数，且其最小值为0