Question

复数—1—3i的三角表示式为

Answer 1

有关知识点：
1。辐角Arg Z及辐角主值arg Z的关系：Arg Z=arg Z + 2kπ (k∈Z)
2。零复数没有辐角。（因此它没有矢径）
3。求辐角主值：设有一个复数Z=x+iy，则有点(x,y)在复平面Z上，
若(x,y)在第一象限，x轴正方向 或第四象限，则arg Z=arctan(y/x);
若(x,y)在y轴正方向，则arg Z= π/2;
若(x,y)在y轴负方向，则arg Z= - π/2;
若(x,y)在x轴负方向，则arg Z= π;
若(x,y)在第二象限 ，则arg Z=arctan(y/x) + π;
若(x,y)在第三象限 ，则arg Z=arctan(y/x) - π。
4。三角表达式：Z=|Z|(cosθ+isinθ)，其中θ=arg Z。
解题：求Z=-1-3i的三角表达式。
求复数的摸：|Z|=√(x^2+y^2)=√((-1)^2+(-3)^2)=√10;
求辐角主值：∵点(-1,-3)在第三象限，
∴根据公式arg Z=arctan((-3)/(-1)) - π
=arctan3 - π;
列出三角表达式：Z=√10[cos(arctan3 - π)+isin(arctan3 - π)]
=√10[-cos(arctan3)-isin(arctan3)] .

Answer 2

z=-1-3i
z的模是r=√[(-1)²+(-3)²]=√10
因为z在第三象限，所以辐角是
θ=arctan(-3/(-1))+π=π+arctan3
∴三角形式为z=r(cosθ+isinθ)=√10[cos(π+arctan3)+isin(π+arctan3)]
即z=√10[-cos(arctan3)-isin(arctan3)]