Question

已知a∈R,函数f(x)=-1/3x^3+1/2ax^2+2ax(a∈R) (1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在R上单调递减，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在[-1,1]上单调递减，求a的取值范围

Answer 1

(1)当a=1时，f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2x
求导F(x)=-x^2+x+2=(-x+2)(x+1) 令F(x)=(-x+2)(x+1) >0 则函数f(x)的单调递增区间为（-1,2）
2)若函数f(x)在R上单调递减
求导F(x)=-x^2+ax+2a 则需令F(x)<0 在R上恒成立 即Δ<0恒成立 解得 a的取值范围（-8,0）
(3)若函数f(x)在[-1,1]上单调递减
求导F(x)=-x^2+ax+2a 则需令F(x)<0 在[-1,1]上恒成立
再分三种情况讨论
解得a的取值范围（-∞，0]