Question

已知，如图，在直角三角形ABC中，角BAC=90°，AB=AC,AC边上有一点D，连接BD，以BD为腰作等腰直角三角形BDE

DE交BC于点F
（1）求证：△ABD∽△CBE
（2）求证：BC-CE=根号2倍的CD
（3）若AB=2，点D为AC的中点，请直接写出线段DF的长度为____.

Answer 1

(1)证明：
∵△ABC为直角三角形, 且∠BAC=90°
△BDE为以BD为腰的等腰直角三角形
∴∠ABC=∠DBE=45°
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC
即∠ABD=∠CBE
又BD/BE=AB/CB=√2/2
∴△ABD∽△CBE
(2).证明：
∵△ABD∽△CBE
∴CE/AD=CB/AB=√2
∴BC=√2AB=√2AC
CE=√2AD
∴BC-CE=√2AC-√2AD=√2(AC-AD)=√2CD
(3) √5/3